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2016年山东考研高数定理:中值定理

2015-02-27 09:11:10| 【山东考研网】

1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a
 

2、函数的极值如果函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的一个点,如果存在着点x0的一个去心邻域,对于这去心邻域内的任何点x,f(x)f(x0)均成立,就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。
 

在函数取得极值处,曲线上的切线是水平的,但曲线上有水平曲线的地方,函数不一定取得极值,即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点),但函数的驻点却不一定是极值点。
 

定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,那么函数在x0的导数为零,即f’(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导,且f’(x0)=0,那么:(1)如果当x取x0左侧临近的值?#20445;琭’(x)恒为正;当x去x0右侧临近的值?#20445;琭’(x)恒为负,那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果当x取x0左侧临近的值?#20445;琭’(x)恒为负;当x去x0右侧临近的值?#20445;琭’(x)恒为正,那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果当x取x0左右两侧临近的值?#20445;琭’(x)恒为正或恒为负,那么函数f(x)在x0处没有极值。
 

定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0那么:(1)当f’’(x0)0?#20445;?#20989;数f(x)在x0处取得极小值;驻点有可能是极值点,不是驻点也有可能是极值点。
 

3、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续,如果对?#25105;?#20004;点x1,x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图?#38382;?#20984;的。
 

定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内具有一阶?#25237;?#38454;导数,那么(1)若在(a,b)内f’’(x)>0,则f(x)在闭区间[a,b]上的图?#38382;?#20985;的;(2)若在(a,b)内f’’(x)
 

判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0,解出这方程在区间(a,b)内的实根;(3)对于(2)中解出的每一个实根x0,检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号,如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号,那么当两侧的符号相?#35789;保?#28857;(x0,f(x0))是拐点,当两侧的符号相同?#20445;?#28857;(x0,f(x0))不是拐点。

 

2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a
 

4、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F’(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。
 

5、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等?#38382;健?/span>
 

6、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么:(1)如果在(a,b)内f’(x)>0,那么函数f(x)在[a,b]上单调增加;(2)如果在(a,b)内f’(x)
 

如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调。
 

 

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