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2016年山东考研数学:随机变量数字

2015-03-09 11:25:41| 【山东考研网】

 

(1)一维随机变量的数字特征

 

离散型

连续型

期望

期望就是平均值

设X是离散型随机变量,其分布律为P( )=pk,k=1,2,…,n,

 

(要求绝对收敛)

设X是连续型随机变量,其概率密度为f(x),

 

(要求绝对收敛)

函数的期望

Y=g(X)

 

       

Y=g(X)

 

方差

D(X)=E[X-E(X)]2,

标准差

   

①对于正整数k,称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩,记为vk,即

νk=E(Xk)= , k=1,2, ….

②对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次幂的数学期望为X的k?#23383;?#24515;矩,记为,即

 

= ,  k=1,2, ….

①对于正整数k,称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩,记为vk,即

νk=E(Xk)=

 k=1,2, ….

②对于正整数k,称随机变量X与E(X)差的k次幂的数学期望为X的k?#23383;?#24515;矩,记为,即

 

=

k=1,2, ….

切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望E(X)=μ,方差D(X)=σ2,则对于?#25105;?#27491;数ε,有下列切比雪夫不等式

 

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下,对概率

 

的一种估计,它在理论上有重要意义。

(2)期望的性质

(1)        E(C)=C

(2)        E(CX)=CE(X)

(3)        E(X+Y)=E(X)+E(Y),

(4)        E(XY)=E(X) E(Y),充分条件:X和Y独立;

                          充要条件:X和Y不相关。

(3)方差的性质

(1)        D(C)=0;E(C)=C

(2)        D(aX)=a2D(X);   E(aX)=aE(X)

(3)        D(aX+b)= a2D(X);   E(aX+b)=aE(X)+b

(4)        D(X)=E(X2)-E2(X)

(5)        D(X±Y)=D(X)+D(Y),充分条件:X和Y独立;

                             充要条件:X和Y不相关。

           D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。

(4)常见分布的期望和方差

 

期望

方差

0-1分布

p

 

二项分布

np

 

泊松分布

   

几何分布

   

超几何分布

   

均匀分布

   

指数分布

   

正态分布

   
 

n

2n

t分布

0

(n>2)

(5)二维随机变量的数字特征

期望

   

函数的期望

 

 

方差

   

协方差

对于随机变量X与Y,称它们的二阶混合中心矩  为X与Y的协方差或相关矩,记为  ,即

 

与记号 相对应,X与Y的方差D(X)与D(Y)也可分别记为  与 。

相关系数

对于随机变量X与Y,如果D(X)>0, D(Y)>0,则称

 

为X与Y的相关系数,记作  (有时可简记为 )。

    | |≤1,当| |=1?#20445;?#31216;X与Y完全相关:

完全相关

而当 ?#20445;?#31216;X与Y不相关。

以下五个命题是等价的:

①  ;

②cov(X,Y)=0;

③E(XY)=E(X)E(Y);

④D(X+Y)=D(X)+D(Y);

⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).

协方差矩阵

 

混合矩

对于随机变量X与Y,如果有  存在,则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩,记为 ;k+l阶混合中心矩记为:

 

(6)协方差的性质

(i)               cov (X, Y)=cov (Y, X);

(ii)           cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);

(iii)        cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);

(iv)               cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).

(7)独立和不相关

(i)                    若随机变量X与Y相互独立,则  ;反之不真。

(ii)                若(X,Y)~N( ),

则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。


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