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2016年山东考研数学:高数重要定理

2015-03-18 09:22:43| 【山东考研网】

1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等,即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。
 

2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续;函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。
 

3、原函数可导则反函数也可导,且反函数的导数是原函数导数的倒数。
 

4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导;函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。
 

5、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等?#38382;健?/span>
 

6、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么:(1)如果在(a,b)内f’(x)>0,那么函数f(x)在[a,b]?#31995;?#35843;增加;(2)如果在(a,b)内f’(x)

如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号,因而函数f(x)在每个部分区间?#31995;?#35843;。
 

7、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且在区间端点的函数值相等,即f(a)=f(b),那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a
 

8、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ(a
 

9、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F’(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。
 

10、函数的极?#31561;?#26524;函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内的一个点,如果存在着点x0的一个去心邻域,对于这去心邻域内的任何点x,f(x)f(x0)均成立,就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。
 

11、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续,如果对?#25105;?#20004;点x1,x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。
 

12.定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内具有一阶?#25237;?#38454;导数,那么(1)若在(a,b)内f’’(x)>0,则f(x)在闭区间[a,b]上的图形是凹的;(2)若在(a,b)内f’’(x)
 

13.直角坐标系下(含参数与不含参数)
 

在函数取得极值处,曲线上的切线是水平的,但曲线上有水?#35282;?#32447;的地方,函数不一定取得极值,即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点),但函数的驻点却不一定是极值点。
 

14.定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,那么函数在x0的导数为零,即f’(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导,且f’(x0)=0,那么:(1)如果当x取x0左侧临近的值?#20445;琭’(x)恒为正;当x去x0右侧临近的值?#20445;琭’(x)恒为负,那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果当x取x0左侧临近的值?#20445;琭’(x)恒为负;当x去x0右侧临近的值?#20445;琭’(x)恒为正,那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果当x取x0左右两侧临近的值?#20445;琭’(x)恒为正或恒为负,那么函数f(x)在x0处没有极值。
 

15.定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0那么:(1)当f’’(x0)0?#20445;?#20989;数f(x)在x0处取得极小值;驻点有可能是极值点,不是驻点也有可能是极值点。

 

16.极坐标系下(r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)
 

17.旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx,其中f(x)指曲线的方程)
 

18.平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx,其中A(x)为截面面积)
 

19.判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0,解出这方程在区间(a,b)内的实根;(3)对于(2)中解出的每一个实根x0,检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号,如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号,那么当两侧的符号相?#35789;保?#28857;(x0,f(x0))是拐点,当两侧的符号相同?#20445;?#28857;(x0,f(x0))不是拐点。
 

20.在做函数图形的时候,如果函数有间断点或导数不存在的点,这些点也要作为分点。

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